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次数分配与其图表

2020年07月18日 12:34:59 | 分类: Z生活历 | 作者:  | 浏览次数:533 次

前言

当你收到你的考试成绩时,除了知道自己的成绩(例如  \(85\) 分)之外,你一定也会对其他同学的成绩感到兴趣。这时,你可能会想了解,有多少同学跟你一样得到 \(85\) 分?有多少同学的成绩高于 \(85\) 分?又有多少同学的成绩是低于 \(85\) 分?如果根据原始的数据来看,你可能无法快速清楚地看出这些讯息。但是,如果我们将全班分数依据大小以及发生的次数 (frequency) 来加以排列,就能够快速有效率地获得这些资讯。这种将分数依发生的次数来呈现的表达方式称为「次数分配」。

未分组的次数分配表

首先,让我们来了解未分组的次数分配表如何使用。如果我们将原始的分数(如表一)依未分组「次数分配」的方式加以整理(分数依大小以及发生的次数排列),这些分数资料就会变得较有意义(如表二)。我们很容易看出有 \(2\) 个人的分数是 \(85\) 分。而且,透过适当的累加次数,可以看出有 \(9\) 个人的分数高于 \(85\) 分,而有 \(19\) 个人的分数低于 \(85\) 分。除此之外,以「次数分配」的方式来呈现资料,可以让我们易于观察分数分布的範围。从考试的成绩来看,最高分是 \(100\) 分,最低分是 \(55\) 分,全班成绩分布于 \(55\) 分到 \(100\) 分之间。

次数分配与其图表

表一、考试成绩 \((N = 30)\)。
(表格来源:本文作者刘素萍製)

次数分配与其图表

表二、以未分组的次数分配来呈现考试成绩 \((N = 30)\)。
(表格来源:本文作者刘素萍製)

分组的次数分配表

当有一份数字资料其分布的範围很广,例如全班同学的考试成绩。若我们将每一个分数都列出来,就会产生很多次数 (frequency) 为 ” \(0\) ” 的情况(如表二),这样我们很难看出成绩分布的集中趋势。因此,在这种情况下,我们常常会将分数依一定的间距归类为几个组别,并且以「分组的次数分配」来呈现(如表三)。在「分组的次数分配表」中,各分组的间距称为「组距」 (class interval)。组距大小的选择,是将资料分组时必须考量的重点。因为原始资料分组整併之后,必定会有一些讯息遗失。若是组距太大,就会遗失较多的讯息,降低资讯的精确度。组距太小,则会产生次数为 ” \(0\) ” 的情况。因此选择一个适当的组距,才能获得较好的分组结果。

次数分配与其图表

表三、以分组的次数分配来呈现考试成绩 \((N = 30)\)。
(表格来源:本文作者刘素萍製)

建立分组的次数分配表有下列几个步骤,我们以考试成绩的例子来说明:

累计每组的次数,完成分组的次数分配表。(如表三)

相对次数 (relative frequency)、累计次数 (cumulative frequency) 与累计百分比 (cumulative percentage)

除了使用「次数分配」的表达方式外,我们也常常使用「相对次数」、「累计次数」以及「累计百分比」来呈现分组的资料(如表四)。「相对次数」是指各组发生的次数佔所有次数的比例;「累计次数」是指落在每组真实上限之下所有次数的和;「累计百分比」则是指落在每组真实上限之下所有次数的百分比和。

次数分配与其图表

表四、以相对次数、累积次数与累积百分比来呈现考试成绩 \((N=30)\)。
(表格来源:本文作者刘素萍製)

绘製次数分配的统计图

类别变数或次序变数的统计资料一般可用「长条图」 (Bar plot) 来呈现(图一)。长条图中各个长条互相不能重叠或相连,图中的每一长条分别代表一种分类的资料(如血型 A 型、B 型、O 型、AB 型),高度则是代表分类资料的次数。

次数分配与其图表

图一、各血型人数统计的长条图。
(本文作者刘素萍绘)

等距变数或是比率变数的统计资料,则应使用「直方图」 (Histogram) 来呈现(图二)。直方图是依次数分配表中的组距,将各组依序绘製于横轴上,因此每一长条彼此相连没有间距,而各长条的高度则是代表各组的次数。习惯上会在横轴上标示出各组的组中点。

次数分配与其图表

图二、考试成绩分配的直方图。
(本文作者刘素萍绘)

「多边图」 (Polygon) 也可用来呈现等距变数或是比率变数的统计资料(图三)。多边图是以点来标示各组次数,再以直线将各点连接起来形成一个多边形。研究者想比较多个分配的图形时,可使用多边图。

次数分配与其图表

图三、考试成绩分配的多边图。
(本文作者刘素萍绘)


参考文献

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